Question

对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．

（Ⅰ）当函数f（x）＝mlnx是J函数时，求m的取值范围；

（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，

试比较g（a）与g（1）的大小；

求证：对于任意大于1的实数x₁，x₂，x₃， ，x_n，均有g（ln（x₁＋x₂＋ ＋x_n））

＞g（lnx₁）＋g（lnx₂）＋ ＋g（lnx_n）．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）①,②先征得，取不同的值得到的式子累加即可得证.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求得，再由＞得，解得；（Ⅱ）①构造函数，证明为上的增函数，再讨论就可得到，②先证得，

即得，

整理得，

同理可得类似的的等式，累加即可得证.

试题解析：（Ⅰ）由，可得，

因为函数是函数，所以，即，

因为，所以，即的取值范围为.           （3分）

（Ⅱ）①构造函数，则，可得为上的增函数，当时，，即，得；

当时，，即，得；

当时，，即，得.       （6分）

②因为，所以，

由①可知，

所以，整理得，

同理可得， ，.

把上面个不等式同向累加可得[. （12分）

考点：1.恒成立问题；2.导数在求函数单调性、最值的应用；3.不等式.