Question

已知圆C：的半径等于椭圆E：（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y＝x－的距离为－，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）先把表示出来，得，同理，从而命题得证.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用到直线的距离得，求出，再求出，从而得椭圆方程为；（Ⅱ）先利用为直角三角形，求出，又，可得，同理得，所以，同理可得，继而得到.

试题解析：（Ⅰ）设点，则到直线的距离为，即

，                  （2分）

因为在圆内，所以，故；                  （4分）

因为圆的半径等于椭圆的短半轴长，所以，椭圆方程为.       （6分）

（Ⅱ）因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，是切点，故为直角三角形，所以，

又，可得，                     （7分）

，又，可得，         （9分）

所以，同理可得，             （11分）

所以，即.       （12分）

考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用.