Question

四边形ABCD的四个顶点都在抛物线上，A，C关于轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线。

（Ⅰ）证明：AC平分；

（Ⅱ）若点A坐标为，四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）y＝2x

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意设出A、B、C、D四点的坐标，注意到AC的斜率为0，只需证AB、AD的斜率之和为0即可；（Ⅱ）四边形ABCD可以AC为底分成两个三角形求出面积，解出得到的方程即可.

试题解析：（Ⅰ）设A(x0，)，B(x1，)，C(－x0，)，D(x2，)．

对y＝x2求导，得y¢＝2x，则抛物线在点C处的切线斜率为－2x0．

直线BD的斜率k＝＝x1＋x2，

依题意，有x1＋x2＝－2x0．   

记直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，与BD的斜率求法同理，得

k1＋k2＝(x0＋x1)＋(x0＋x2)＝2x0＋(x1＋x2)＝0，

所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．      

（Ⅱ）由题设，x0＝－1，x1＋x2＝2，k＝2．四边形ABCD的面积

S＝|AC|·＝|AC|·|x2＋x1|·|x2－x1|

＝×2×2×|2－2x1|＝4|1－x1|，

由已知，4|1－x1|＝4，得x1＝0，或x1＝2．

所以点B和D的坐标为(0，0)和(2，4)，

故直线BD的方程为y＝2x．

考点：1、抛物线及切线；2、直线的斜率及应用.