Question

如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，底面。

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线PC与平面PDE所成角为，求三棱锥高的大小。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由线线垂直得到线面垂直CD⊥平面PAC，进而求证出面面垂直； （Ⅱ）由已知条件求出S△PCD和S△BCD，再利用等体积法求出三棱锥B-PCD的高.

试题解析：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，CD⊥AC．

因为PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA．

又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．

因为CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．  

（Ⅱ）直线PC与底面ABCDEF所成的角∠PCA＝45°．

在Rt△PAC中，AC＝，所以PA＝，PC＝，

即三棱锥P-BCD的高为，

 S△PCD＝PC·CD＝，S△BCD＝BC·CD sin120°＝，

 设三棱锥B-PCD高为h，由VP-BCD＝VB-PCD，得：

 S△BCD·PA＝S△PCD·h，

 经计算可得：h＝，

所以三棱锥B-PCD高为．

考点：1、面面垂直的求证；2、线面成角.