Question

已知椭圆C：的离心率等于，点P在椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在定直线：，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由，点代入椭圆方程，二者联立可以解出；（2）以的存在性分两种情况：①不存在，直线:,易证符合题意；②存在时，设直线:，用直线方程和椭圆方程联立方程组，消参得一元二次方程，利用韦达定理得，，又因为共线，有，由得，得出，由于成立，所以点在直线上，综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.

试题解析：（1）由，               2分

又点在椭圆上，，               4分

所以椭圆方程是：；                       5分

（2）当垂直轴时，，则的方程是：，

的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,

即直线的方程是:使得与的交点总在直线上,         6分

证明：设的方程是，点，

将的方程代入椭圆的方程得到：，

即：，                  7分

从而：，                 8分

因为：，共线

所以：，，                  9分

又，

要证明共线，即要证明，            10分

即证明：，

即：，

即：

因为：成立，       12分

所以点在直线上。

综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.  13分

考点：1.椭圆的离心率；2.韦达定理；3.分类讨论法解题.