Question

设是函数的零点．

（1）证明：；

（2）证明：．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助导数证明函数在是单调函数，进而确定函数在上有且只有一个零点，进而证明；（2）先将原不等式化为两个不等式与，先证明不等式，方法1先证明不等式，然后利用放缩法证明，从而证明不等式成立，方法2是在不等式的基础上利用数学归纳法直接证明不等式成立；再证明不等式

先考察函数的单调性证明，然后就时，将对进行放缩，，进而证明。

试题解析：（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，

所以函数在内有零点．                           1分

因为，

所以函数在上单调递增．                           2分

所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．

而是函数的零点，

所以．                                   3分

（2）先证明左边的不等式：

因为，

由（1）知，

所以．                                   4分

即．

所以．                                  5分

所以．                   6分

以下证明．              ①

方法1（放缩法）：因为，                7分

所以

．                        9分

方法2（数学归纳法）：1）当时，，不等式①成立．

2）假设当（）时不等式①成立，即

．

那么

．

以下证明．                 ②

即证．

即证．

由于上式显然成立，所以不等式②成立．

即当时不等式①也成立．

根据1）和2），可知不等式①对任何都成立．

所以．                            9分

再证明右边的不等式：

当时，．

由于，，

所以．                                  10分

由（1）知，且，所以．            11分

因为当时，，                      12分

所以当时，

                                     ．

所以当时，都有．

综上所述，．                       14分

考点：导数、零点存在定理、放缩法、数学归纳法