Question

设，，其中是常数，且．

（1）求函数的极值；

（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；

（3）设，且，证明：对任意正数都有：．

Answer

(1) 当时，取极大值，但没有极小值;(2)详见解析;(3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)先求导，再讨论函数的单调区间，然后写出函数的极值；(2)通过依次构造函数、和，利用导数来研究其单调性和最值情况，从而用来比较大小，最终达到证明不等式的目的; (3)先把所要证明的不等式的左边转变到函数的问题，得到相关的不等式，再借助(1)中的结论得到，最后取即可证得.

试题解析：（1）∵，         1分

由得，，

∴，即，解得，        3分

故当时，；当时，；

∴当时，取极大值，但没有极小值．        4分

（2）∵，又当时，令，则

，

故，因此原不等式化为，即，

令，则，

由得：，解得，

当时，；当时，．

故当时，取最小值，  8分

令，则．

故，即．

因此，存在正数，使原不等式成立．         10分

（3）对任意正数，存在实数使，，

则，，

原不等式，

           12分

由（1）恒成立，故，

取，即得，

即，故所证不等式成立．            14分

考点：1、导数的应用，2、函数单调性的应用，3、不等式的证明.