Question

如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证，需先证平面，由于平面易证，故有，又因为，则证得平面；（2）综合法是先找到二面角的一个平面角，不过必须根据平面角的定义证明，然后在中解出的三角函数值.

试题解析：（1）连接，由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而． 3分

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，

∴，        5分

由得，平面，

又平面，

∴．             6分

（2）（综合法）过点作，垂足为，连接．         7分

由（1）知平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，∴，       9分

∴为二面角的平面角．         10分

由（Ⅰ）可知，，

∴，则，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值为．     14分

考点：1、线线垂直和线面垂直的证明，2、二面角的计算.