Question

如图，在四棱锥中，⊥底面，四边形是直角梯形，⊥，∥， .

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求.

Answer

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直得到线线垂直，利用线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，得到相应点的坐标，计算平面的法向量，通过二面角的大小计算得到的值.

试题解析：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD， BCÌ平面ABCD，

∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

∴BC⊥平面PAB，

∵BCÌ平面PBC，

 ∴平面PBC⊥平面PAB． 5分

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴、AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz．

则B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(1，1，0)．

设P(0，0，a)（a＞0），

则＝(0，1，0)，＝(2，1，－a)，

＝(1，0，0)                    8分

设n1＝(x1，y1，z1)为面BPC的一个法向量，

则n1·＝n1·＝0，

即

取x1＝a，y1＝0，z1＝2，得n1＝(a，0，2)．

同理，n2＝(0，a，1)为面DPC的一个法向量．                 10分

依题意， |cosán1，n2ñ|＝＝＝，

解得a2＝2，或a2＝－7（舍去），所以＝．             12分      

考点：平面与平面垂直的判定，向量法求直线的值.