Question

已知常数、、都是实数，函数的导函数为，的解集为．

（Ⅰ）若的极大值等于，求的极小值；

（Ⅱ）设不等式的解集为集合，当时，函数只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，函数在上只有一个零点.

【解析】

试题分析：：1.第（Ⅰ）的解答还是要破费周折的.首先要求出导函数.

然后根据的解集为，通过解混合组,得到进而得到.接下来通过研究函数的单调性，由的极大值等于，可解得，这样就可以求出的极小值.2.第（Ⅱ）问先由不等式的解集为集合，可以解得.然后研究的单调性，值得注意的是，换句话说方程两边对求导数，、应看作是常数.单调性弄清楚后，还要比较、的大小.然后根据只有一个零点，列出或，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵不等式的解集为，

∴不等式的解集为.

∴即 

∴，.

∴当或时，，即为单调递减函数；

当时，，即为单调递增函数.

∴当时，取得极大值，当时，取得极小值.

由已知得，解得.

∴.

∴的极小值.

（Ⅱ）∵，，，

∴，解得，即.

∵，∴.

∴当或时，，即为单调递减函数；

当时，，即为单调递增函数.

∴当时，为单调递减函数；

当时，为单调递增函数.

∵，

，，

∴.

∴在上只有一个零点或.

由得；

由，即，得.

∴实数的取值范围为或.

∴当或时，函数在上只有一个零点.

考点：本题通过导数综合考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识.