Question

已知函数.

⑴ 求函数的单调区间；

⑵ 如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；

⑶ 是否存在正实数，使得：当时，不等式恒成立？请给出结论并说明理由.

Answer

(1) .;(2) ⑶详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用求导的基本思路求解，注意导数的四则运算；（2）利用转化思想将问题转化为总成立，只需时.借助求导，研究的性质，通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围；⑶通过构造函数和等价转化思想，将问题转化为，要使在上恒成立，只需.然后利用求导研究函数的最大值，进而证明结论.

试题解析：：(1) 由于，

所以.                 (2分)

当，即时，；

当，即时，.

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.                                                             (4分)

(2) 令，要使总成立，只需时.

对求导得，

令，则，()

所以在上为增函数，所以.                                                (6分)

对分类讨论：

① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；

② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；

③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                                                       (9分)

(3) 存在正实数使得当时，不等式恒成立.

理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                                                              (10分)

因为，且，，所以存在正实数，使得，

当时，，在上单调递减，即当时，，所以只需均满足：当时，恒成立.                                      (12分)

注：因为，，所以

考点：1.函数与导数的综合应用能力；2.用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.