Question

(本小题满分12分)定义在上的函数同时满足以下条件：

①在上是减函数，在上是增函数；                 

②是偶函数；

③在处的切线与直线垂直.

(1)求函数的解析式；

(2)设，求函数在上的最小值.

Answer

（1）. （2）。

【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的单调性

（1）求导函数，可得f′（x）=ax2+2bx+c，根据R上的函数f(x)= ax3+bx2+cx+2同时满足的条件，列出方程组，从而可求函数y=f（x）的解析式；

（2）求导函数，确定函数的单调性，再结合区间，进行分类讨论，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值．

【解析】
（1）.   

由题意知即解得  

所以函数的解析式为.   . …………….…….……4分

（2），   .

令得，所以函数在递减，在递增.    ……6分

当时，在单调递增，.

当时，即时，

在单调递减，在单调递增， .  ……9分

当时，即时，

在单调递减，     

综上，在上的最小值……12分