Question

设f(x)＝lnx＋－1，证明：

（1）当x>1时，f(x)<  (x－1)；

（2）当1<x<3时，f(x)< .

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，

g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.

又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)<  (x－1).

(证法二)

由均值不等式，当x>1时，2 1时，f(x)<  (x－1).

（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得

h′(x)＝＋－＝－< －＝.

令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1