Question

如图2，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

Answer

（1）10 km（2）见解析

【解析】【解析】
（1）令y＝0，得kx－ (1＋k2)x2＝0，…………………………2分

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号. …………………………4分

所以炮的最大射程为10 km.    …………………5分

（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立

⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根           …………………………7分

⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0

⇔a≤6.                                 ………………11分

所以当a不超过6 km时，可击中目标.   ……………………12分