Question

在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．

（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，满足定理条件；

（2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC；

（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．

【解析】
（Ⅰ）分别为的中点，

∥

又平面，平面

∥平面. ………………5分

（Ⅱ）连结，

，为中点，,

 ⊥，.

同理, ⊥，.

又,,

，⊥.

⊥,⊥,,

⊥平面.

又平面，平面⊥平面.…………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面

为三棱锥的高，且

. …………………………14分