Question

已知函数，是的一个零点，又在 处有极值，在区间和上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．（1）求的取值范围；（2）当时，求使成立的实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）  （Ⅱ）所以存在实数，满足题目要求.

【解析】本题主要考查利用导数求函数的极值，考查方程根的讨论，属于中档题．着重考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件

（1）求出函数f（x）的导函数，由题意得f'（0）=0即可得到c=0；

（2）由（1）得，f'（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零点为x=0或x= 

，再根据f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上的单调且单调性相反，列出不等式组，化简得

（3）将b=3a代入到f'（x）中，化简得f'（x）的零点为x=0或-2，讨论当a＞0和当a＜0时f'（x）的情况，可以得出两种情况下f（x）在区间[-3，2]上的取值范围，最后根据不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化简即得实数a的取值范围