Question

 (本题满分14分)已知椭圆的右顶点，过的焦点且垂直长轴的弦长为.

（I） 求椭圆的方程；

（II） 设点在抛物线上，在点处的切线与交于点.当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值.

Answer

（I）；（II）的最小值为1．

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）因为椭圆的右顶点，过的焦点且垂直长轴的弦长为.，根据性质得到椭圆的方程。

（2）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即

结合判别式得到范围和最值。

【解析】
（I）由题意得所求的椭圆方程为，

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．