Question

已知：函数（其中常数）.

（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为，

（Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查导数在研究函数中的运用。求解函数的最值以及函数的定义域和单调性的综合运用。

（1）因为函数的定义域为．  

结合导数的正负来得到单调性的判定。

（2）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立，那么对于参数a分类讨论得到结论。

【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为．  

.     由，解得.     由，解得且．∴的单调递增区间为，单调递减区间为，．

（Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立．                          

若即时，

x

a+1

-

0

+

↘

极小值

↗

∴在上的最小值为．

则，得．     

若即时，在上单调递减，则在上的最小值为．

由得（舍）．

综上所述，．