Question

已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆的方程；

（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

Answer

（I）（II）

【解析】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种．

（1）先利用离心率为，求出a，b，c之间的关系，再利用直线l：x-y+2=0与圆相切求出b，即可求椭圆C1的方程；

（2）把条件转化为动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离即可求出点M的轨迹C2的方程．

【解析】
（Ⅰ）∵  

∵直线相切，

∴   ∴   

∵椭圆C1的方程是     

（Ⅱ）∵MP=MF2，

∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 

∴点M的轨迹C2的方程为