Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形

（Ⅰ）求出的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；

（Ⅲ）求的值.

Answer

（Ⅰ）41（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，（3）问考查了裂项法求数列的和，属于中档题

（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；

（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；

（3）根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．

【解析】
（Ⅰ）

（Ⅱ）因为

由上式规律，所以得出

因为

（Ⅲ）当时，,则