Question

（本小题满分12分）

在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于B，构成一个三棱锥(如图所示)．

   

（Ⅰ）在三棱锥上标注出、点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；

（Ⅱ）是线段上一点，且, 问是否存在点使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求多面体E-AFNM的体积．

Answer

（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线； 详见解析。

（Ⅱ）当点与点B重合时，此时；

（Ⅲ）．

【解析】本试题是一个折叠图的运用。折叠图要关注不变量，然后利用空间的线面的位置关系判定线面平行和线面垂直问题，然后求解锥体的体积的运算的综合运用。

（1）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线，且，利用线面平行的判定定理得到结论。

（2）假设存在点G点使得AB垂直于平面EFG，那么先猜想,然后利用猜想证明得到结论。

（3）要求锥体的体积，要分析已知中的高，即线面垂直的性质定理的运用。

【解析】
（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线，如图所示.

则                       ………………2分

证明如下： ．…4分

（Ⅱ）存在点使得，此时

      因为面EBF

      又是线段上一点，且,

      ∴ 当点与点B重合时，此时           ………………8分

（Ⅲ）因为

且，

∴，            ………………………………………9分

又                     ………………………………11分

∴．                          …………………………………12分