Question

设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；

（3）若的面积满足，求的值．

Answer

（1）（2）当且仅当时的最大值为9（3）

【解析】(1)注意焦点在y轴上，并且由渐近线方程可得到,可求出a,b值，写出双曲线的标准方程.

（II）将抛物线方程与双曲线方程联立消y之后得到关于x的一元二次方程，然后利用此方程有两个不同的正实根，确定出p的取值范围，然后再把用坐标表示出来，再利用韦达定理转化为关于p的函数，再研究其最值即可.

（III）先把面积表示出来，在（II）的基础上，先求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出高,最后把S表示成关于p的函数，根据可建立p的方程，解出p的值.

（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：

又双曲线的标准方程为：

（2）将代入到中并整理得：

设则

   又

当且仅当时的最大值为9

（3）直线的方程为：即

到直线的距离为：

又