Question

（本小题１4分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（１）请用分别表示｜GE｜、｜EH｜的长

（2）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

H

（3）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

Answer

（１）｜GE｜=   ｜EH｜=

（2）当x=15时，S取得最大值

（3）当x=20时，V取得极大值，也是最大值.

此时，即包装盒的高与底面边长的比值为

【解析】第一问中利用已知的图像可知，结合正方形的特点得到。

第二问中，设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得

得到然后结合导数的思想求解最大值

第三问中，表示然后结合导数来求解体积的最值问题。

【解析】
｜GE｜=   ｜EH｜=

设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得

(2)

所以当x=15时，S取得最大值. 

（3）.

由得x=0（舍）或x=20.

当时，；当时，

所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.

此时，即包装盒的高与底面边长的比值为