Question

已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，，∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，

求的取值范围．

Answer

（1）．（2）．（3）

【解析】(1)解本小题关键是把题目条件转化为≥0在上恒成立，即恒成立问题来解决.

(2)由（1），得．．

在其定义域内为单调函数，然后解题的关键就转化为或者在[1，＋∞）恒成立,下面可以考虑变量与参数分离求解.

(3)构造函数,

本小题就转化为F(X)的最大值大于零即可

（1）由题意，≥0在上恒成立，即．

   ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

   只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定义域内为单调函数，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．

 等价于，即，

 而 ，（）max=1，∴．

等价于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．

（3）构造，．

当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个使得成立． 当时，．

因为，所以，，所以在恒成立．

故在上单调递增，，只要，

解得故的取值范围是