Question

已知函数在上单调递减，且满足， (Ⅰ) 求的取值范围；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值

Answer

：（Ⅰ）

（Ⅱ）（i）当时，在上取得最小值  ，在上取得最大值

当 时，在 取得最大值 ，在 取得最小值

当 时，  在  取得最小值 在 取得最大值 

当 时，在取得最小值

当  时，  在取得最小值

【解析】：（Ⅰ）由，得

则 ，依题意须对于任意  ，有 当时，因为二次函数  的图像开口向上，而 ，所以须  ，即 

当 时，对任意 有 ，符合条件；

当时，对于任意 ，，符合条件；

当 时，因， 不符合条件，故的取值范围为

（Ⅱ）因 

（i）当时，  ，在上取得最小值  ，在上取得最大值

（ii）当 时，对于任意 有 ，在 取得最大值 ，在 取得最小值

（iii）当时，由  得

①  若 ，即 时，  在上单调递增，  在  取得最小值 在 取得最大值 

②  若 ，即 时， 在 取得最大值   ，在  或  取得最小值，而，

则当 时，在取得最小值

当  时，  在取得最小值