Question

已知函数.

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

Answer

（1）；（2）、（3）见解析.

【解析】第一问利用函数在[1，2]上是减函数，故在[1，2]上恒成立，利用分离参数的思想求解参数的取值范围。第二问中，假设存在实数，使有最小值3,

，对a分类讨论，确定最小值，然后说明结论，第三问中，令，由（2）知，.令

当时，在上单调递增

∴，因此得到结论。

（Ⅰ）在[1，2]上恒成立.

令，有得 ，得.

（Ⅱ）假设存在实数，使有最小值3,

①当时，在上单调递减，（舍去），

②当时，在上单调递减，在上单调递增

∴，满足条件.

③当时，在上单调递减，（舍去），

综上，存在实数，使得当时有最小值3.

(Ⅲ)令，由（2）知，.令，

当时，在上单调递增

∴    

∴即