Question

如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）45°.

【解析】第一问先利用取中点，由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面，然后以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积公式得到证明。

第二问中，假设在棱上存在一点，不妨设，

则点的坐标为则得到平面的一个法向量.，

又面的法向量可以是向量的夹角公式，表示出二面角，从而解得。

取中点，则由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以为原点，建立空间直角坐标系（如图）.则……………………………2分

（Ⅰ）证明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假设在棱上存在一点，不妨设

，

则点的坐标为，……………………………8分

∴

设是平面的法向量，则

不妨取，则得到平面的一个法向量.…………………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

则45°=

可解得，即

故在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45°. ………12分