Question

（本小题满分12分）

已知函数

   （I）当a=1时，求的最小值；

   （II）求证：在区间（0，1）单调递减。

Answer

【解析】

（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝－lnx＋x－1，f¢(x)＝－＋1＝．………………2分

当x∈(0，1)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．

f(x)的最小值为f(1)＝0．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）f¢(x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，………6分

若a≥1，当x∈(0，1)时，f¢(x)＜0，f(x)在区间(0，1)单调递减．

若≤a＜1，由（Ⅰ）知，当x∈(0，1)时，－ln＋－1＞0，即lnx＞，

则f¢(x)＝(a－1)lnx＋＜＋＝≤0，

f(x)在区间(0，1)单调递减．

综上，当a≥时，f(x)在区间(0，1)单调递减．………………………………12分

方法2：f¢(x)＝(a－1) lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，……………6分

因为[f¢(x)]¢＝＋＝a(＋)－≥(＋)－＝＞0，

所以f¢(x)单调递增，f¢(x)＜f¢(1)＝0，f(x)在区间(0，1)单调递减．……………12分

【解析】略