Question

已知直线过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、F、 在直线上的射影依次为点、、.

   （1）求椭圆的方程；

   （2）若直线交y轴于点，且，当变化时，探求

的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

   （3）连接、，试探索当变化时，直线与是否相交于定点？

Answer

【解析】
（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，抛物线的焦点坐标

椭圆的方程    ……………4分

   （Ⅱ）易知，且与轴交于，设直线交椭圆于

由∴

∴……………6分

    又由 

    同理∴

∵  ∴    ……9分

所以，当变化时， 的值为定值；                            ……………10分

（Ⅲ）先探索，当时，直线轴，则为矩形，由对称性知，

与相交 的中点，且，

猜想：当变化时，与相交于定点                       ……………11分

证明：由（Ⅱ）知，∴当变化时，首先证直线过定点，

方法1）∵，当时，

∴点在直线上，

同理可证，点也在直线上；∴当变化时，与相交于定点………14分

方法2）∵

∴    ∴、、三点共线，同理可得、、也三点共线；

    ∴当变化时，与相交于定点                ……………14

【解析】略