Question

已知函数．

（1）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据，，）

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer

【解析】
（Ⅰ），   ∵  ，，

∴  ．                                 ……………………2分

令 ，则，     ……………………3分

∴  在区间上单调递增，∴  在区间上存在唯一零点，

∴  在区间上存在唯一的极小值点．   …………………………………4分

取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

，而，∴  极值点所在区间是；

又，∴  极值点所在区间是；

③  ∵  ，∴  区间内任意一点即为所求．  ……7分

（Ⅱ）由，得，

即 ，∵  ，   ∴ ，……………………8分

令 ， 则．   ………………10分

令 ，则．

∵，∴，∴在上单调递增，∴，

因此故在上单调递增，         ……………………12分

则，∴  的取值范围是………13分   

【解析】略