Question

（本小题满分14分）

设数列的前项和为，且，其中为常数，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，数列的前项和为，求证：当；

（3）设数列的公比为数列满足求证：.

Answer

略

【解析】解（1）由又两式相减得

即为常数，∴数列等比.

（2）由（1）知等比，又，当时，即

∴ 即

∴

两式相减得

∴ 又 ∴单调递增

∴当时， 故当时

（3）由（1）知 则 ∴

故是首项，公差的等差数列. ∴ 即

即证：

方法一：只须证，用数学归纳法证明（i）当时，左 右边 不等式成立，(ii)假设时不等式成立，

即      则当时

即时也成立，综合(i)(ii)得证

方法二：记, 

知↑,所以

方法三：

∴