Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA。

   （I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；

   （II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A—PC—B的余弦值。

Answer

（I）证明略

（II）二面角A—PC—B的余弦值是

【解析】（方法一）

（I）连接B1P，因为在直三棱柱ABC—A1B1C1中，P为A1C1的中点，

AB=BC，所以B1P⊥面A1C。

所以B1P⊥AP。

又因为当k=1时，

AB=BC=PA=PC，

∴AP⊥PC。

∴AP⊥平面B1PC，

∴PA⊥B1C。

（II）取线段AC中点M，线段BC中点N，

连接MN、MC1、NC1，

则MN//AB，∵AB⊥平面B1C，∴MN⊥平面B1C，

是直线PA与平面BB1C1C所成的角，

设AB=a，

即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，

，

由三垂线定理得BH⊥PC，

所以是二面角A—PC—B的平面角。

设AB=2，则BC=2，PA=-4，，

在直角三角形中AA1P中

，

连接MP，在直角三角形中

由，

又由，在直角三角形中BMH中，

解得，

在直角三角形BMH中

所以二面角A—PC—B的余弦值是

（方法二）

以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，

（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2

根据题意得：

所以

   （II）设AB=2，则，

根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0）

又因为

所以，

所以由题意得

即

即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

的法向量

设平面BPC的一个法向量为

由，得，

所以此时二面角A—PC—B的余弦值是