Question

（本题满分16分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，＝2＝2．

（1）求证：；

（2）求证：∥平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝，AC＝2．取中点，连AF, EF，

∵PA＝AC＝2，∴PC⊥． ………………………………………………………2分

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，

∴，∴，

∴．    …………………………………………………………………… 4分

∴． ∴PC⊥．…………………………………………………6分

（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则

EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB． ……………………………………………………………………8分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……………………………………………………………………10分

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………………………………………………12分

 证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．…………………………8分

∵E为PD中点，∴EC∥PN …………………………………………………………10分

∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．   …………………  12分(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝．……………14分

则V＝．    …………………………………  16分

【解析】略