Question

（本题满分12分）

已知函数

   （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；

   （2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

Answer

（1）a>1

（2）有且仅有两个交点

【解析】（1）

若使存在单调递减区间，则上有解．……1分

而当

问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值．

                                                                                           ………………3分

又上的最小值为-1，所以a>1．……4分

   （2）令

函数的交点个数即为函数的零点的个数．……5分

令解得

随着x的变化，的变化情况如下表：

-

0

+

单调递减

极（最）小值2+lna

单调递增

                                                                      …………7分

①当恒大于0，函数无零点．……8分

②当由上表，函数有且仅有一个零点．

                                                                                                      ……9分

③显然

内单调递减，

所以内有且仅有一个零点                                                       …………10分

当

由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在

使得

从而

因而

又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，

所以内有且仅有一个零点．   …………11分

因此，有且仅有两个零点．

综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点．……12分