Question

（本小题满分13分）已知圆C：过点A（3，1），且过点（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．

（1）求切线PF的方程；

（2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程。

（3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

【解析】
（1）点A代入圆C方程，得．

∵m＜3，∴m＝1．圆C：．

设直线PF的斜率为k，则PF：，

即．∵直线PF与圆C相切，∴．解得．

当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为－4，∴符合题意，

∴直线PF的方程为y=x+2         …………6分

(2)设抛物线标准方程为y2=-2px, ∵F（－4，0）, ∴p=8, ∴抛物线标准方程为y2=-16x                                 …………8分

(3) ，设Q（x，y），，．

∵y2=-16x, ∴．

∴的取值范围是(－∞，30]．…………13分

【解析】略