（本小题满分12分）已知函数f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）2 （a...

（本小题满分12分）

已知函数f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）² （a为常数）．

（Ⅰ）若函数f （x）在x＝1处有极值，判断该极值是极大值还是极小值；

（Ⅱ）对满足条件a≤的任意一个a，方程f （x）＝0在区间（0，3）内实数根的个数是多少？

（１）极大值；（２）２【解析】（Ⅰ）f＇（x）＝ …………2分 —10；x>1时，f＇（x）<0， ∴f（x）在（—1，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数所以f（1）为函数f（x）的极大值 …………4分（Ⅱ） …………5分 +∞）是为减函数因此f（x）在x＝—1+处取得区间（—1，+∞）上的最大值 ——6分由f（—1+）＝0得a＝— …………7分（1）当a<时，f（—1+ 所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根 …………8分（2）当a＝时，f（—1+ 所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有且仅有1个实数根 —1+…………9分（3）当a≤时，≤1，又f（0）a<0，f（—1+ f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有2个实数根． …………11分综上所述，当a＜时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根；当a时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内有1个实数根；当≤时，方程f（x）＝0 在区间（0，3），内有2个实数根． …………12分

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考点分析：

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（本小题满分12分）

已知函数f （x）＝alnx＋x²（a为实常数）．

（Ⅰ）若a＝－2，求证：函数f （x）在（1，＋∞）上是增函数；

（Ⅱ）求函数f （x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（Ⅲ）若当x∈[1，e]时，f （x）≤（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围．

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（本小题满分12分）

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假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：