Question

1.     已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．

(1) 若三角形是底边F₁F₂长为6，腰长为5的等腰三角形，求“果圆”的方程；

(2)若“果圆”方程为：，过F₀的直线l交“果圆”于y轴右边的Q，N点，求△OQN的面积S_△OQN的取值范围

(3) 若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

Answer

（1），

（2）

（3）或

【解析】(I)∵

        ∴，，

        于是，c2=16，a2=b2+c2=41，

        所求“果圆”方程为，

     (Ⅱ)①若直线l的斜率k存在，则由图可知，k2>3．设直线l的方程为：y=k(x-1)，设点Q，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)

        由消x，得

∴，

∴

∵

②若直线l⊥x轴，则︱QN︱=3，故

综上，得

（3）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．设，则

           ，

     ， 的最小值只能在或处取到．

     即当取得最小值时，在点或处．

，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上当位于“果圆”的半椭圆上时．             

              ．

    当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．                                       

    当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．                               

    综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．