Question

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过点（，），且它的左焦点F₁将长轴分成2∶1，F₂是椭圆的右焦点．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设P是椭圆上不同于左右顶点的动点，延长F₁P至Q，使Q、F₂关于∠F₁PF₂的外角平分线l对称，求F₂Q与l的交点M的轨迹方程．

Answer

  【解析】
（1）设椭圆的方程为（a>b>0），半焦距为c，则a2-b2=c2，

∵ 椭圆经过点（，），

∴ ．

又∵ 它的左焦点F将长轴分成2∶1，

∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1，整理得a=3c．

联立①②③，即  解得a2=36，b2=32，c2=4．

∴ 椭圆的标准方程为．            ……………………4分

（2）∵ Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称，

∴ |PQ|=|PF2|，且M是F2Q的中点．

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=12，

∴ |PF1|+|PQ|=12，即|F1Q|=12，

∴ Q的轨迹是以F1(-2，0)为圆心，12为半径的圆（除去与x轴的两个交点），其轨迹方程为(x+2)2+y2=144（y≠0）．  …………………7分

设M(x，y)，Q(a，b)，由（1）知F2(2，0)，

∴   可整理得a=2x-2，b=2y，

∵ Q(a，b)在圆(x+2)2+y2=144（y≠0）上运动，

∴ (2x-2+2)2+(2y)2=144，即x2+y2=36．

∴ M的轨迹方程为x2+y2=36（y≠0）．       ……………………10分

【解析】略