Question

（本小题满分12分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅲ）

【解析】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）【解析】
，由导数的几何意义得，于是．

由切点在直线上可得，解得．

所以函数的解析式为．

（Ⅱ）【解析】
．

当时，显然（）．这时在，上内是增函数．

当时，令，解得．

当变化时，，的变化情况如下表：

＋

0

－

－

0

＋

↗

极大值

↘

↘

极小值

↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．

从而得，所以满足条件的的取值范围是．