Question

 设函数f(x)＝ka^x－a^－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

⑴若f(1)＞0，试求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；

⑵若f(1)＝，且g(x)＝a^2x＋a^－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．

Answer

 【解析】
⑴∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1，……………………………………………… (1分)

故f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)

∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1.

f′(x)＝axlna＋＝lna

∵a>1，∴lna>0，而ax＋>0，∴f′(x)>0故f(x)在R上单调递增………………(3分)

原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x)

∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0∴x>1或x<－4，

∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．……………………………………………(6分)

⑵∵f⑴＝，∴a－＝，即2aa－2＝0，

∴a＝2或a＝－(舍去)．  (8分)

∴g(x)＝22x＋x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x) m(2x－2－x)＋2.

令t＝f(x)＝2x－2－x，由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数

∵x≥1，∴t≥f(1)＝，………………………………………………………………(9分)

令h(t)＝tmt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)

若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2

若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，

解得m＝>，舍去，综上可知m＝2. ………………………………………(12分)