Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,

（a,b,c∈R）

（1）求证：函数图象交于不同的两点；

（2）设（1）问中交点为,求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer

 解（1）证明由消去y得ax2+2bx+c=0

Δ=4bac=4（－a－c）ac=4（a2+ac+c2）=4［（a+c2］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点（6分）

（2）解设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,

则x1+x2=－,x1x2=

|A1B1|2=（x1－x2）2=（x1+x2）x1x2

（8分）

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈（－2,－）（10分）

∵的对称轴方程是

∈（－2,－）时，为减函数

∴|A1B1|2∈（3,12）,故|A1B1|∈（）（12分）