Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.

（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；

（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；

（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）易得，设点P，

则，所以…3分

又⊙的面积为，∴，解得，∴，

∴所在直线方程为或………………5分

（Ⅱ）因为直线的方程为，且到直线的

距离为………………………………7分

化简，得，联立方程组，解得或…10分

∴当时，可得，∴⊙的方程为；

当时，可得，∴⊙的方程为…12分

（Ⅲ）⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切13分

证明：因为，

又⊙的半径，∴，∴⊙和⊙相内切…16分

（说明：结合椭圆定义用几何方法证明亦可）