Question

 如图甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C为圆周上异于A、B的一点．

（1）若一个面体中有个面是直角三角形，则称这个面体的直度为．那么四面体的直度为多少？说明理由；

（2）在四面体中，，设．若动点在四面体 表面上运动，并且总保持．设为动点的轨迹围成的封闭图形的面积关于角的函数，求取最大值时,二面角的正切值．

Answer

 【解析】
（1）四面体的直度为1．

理由如下：由AB是⊙O的直径，点C为圆周上异于A、B的一点，故AC⊥BC， 从而底面为△。又PA垂直于⊙O所在平面，有PA⊥AB，PA⊥AC，故△PAB、△PAC都为△。又AC为PC在面ABC内的射影，由三垂线定理知PC⊥BC，故△PCB为△。综上知四面体的四个面都为△，所以四面体的直度为1. -----------------4分

（2）∵动点在四面体表面上运动，并且总保持，

∴动点的轨迹是过点A作PB的垂面与四面体表面的交线围成的三角形。

如图乙：平面，并且平面与四面体的三个侧面分别交于AE、AF、EF．

易知即为二面角的平面角．

∵AB是⊙O的直径，点C为圆周上异于A、B的一点，∴BC⊥AC

∵PA⊥面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，故BC⊥面PAC，∵AF平面PAC，∴AF⊥BC．

又平面知AF⊥PB，∴AF⊥面PBC．又EF平面PBC，AF⊥FE，则为△．

在△PAB中，,，则AE=．

在△ACB中，，，有．

又在△PAC中，．

在中，．

∴=

=

．

当且仅当时．

此时．

故取最大值时二面角的正切值为1．------------12分