Question

 如图，直四棱柱—的侧棱的长是，底面是边长的矩形，为的中点．

⑴ 求证：平面⊥平面；

⑵ 求二面角E—BD—C的大小；

⑶ 求点C到平面BDE的距离．

Answer

 ⑴ 证明：∵直四棱柱—的侧棱的长是，底面是边长 的矩形，为的中点．∴，∴DE⊥CE．

又∵∴DE⊥EB，∴DE⊥平面CEB，

又∵DE平面，∴平面⊥平面。-----------4分

⑵ 取DC的中点F（如图），则EF⊥平面BCD．作FH⊥BD，垂足为H，连接EH，易知FH为EH在平面BCD内的射影，由三垂线定理知EH⊥BD，故∠EHF就是二面角E—BD—C的一个平面角．

由题意得EF＝，HF＝，

在△EFH中，．

故二面角E—BD—C的大小为．----------8分

⑶ 作CG⊥EB，垂足为G．由⑴知平面⊥平面，则CG⊥平面BDE，线段CG之长即为点C到平面BDE的距离．

∵BC⊥平面，∴BC⊥CE．在△ECB中，，，．

∴，故点C到平面BDE的距离为．-----------12分