Question

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

Answer

取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．
【解析】
取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，-a，0），D（0，a，0），C（ a，0，0）．
=（0，-a，-a），=（ a，-a，0）．
cos＜，＞==
∴＜，＞=60°，故④正确．
故选C