Question

一根不均匀的金属杆长AB=4m，自重为G=4 000N，放在水平地面上．如图所示的滑轮组的绳子系在B端，以A端为支点，竖直向上地提起它的B端．当人站在水平地面上，竖直向下用力拉绳端，使金属杆的B端刚离开地面时，人对地面的压力为F_N1，B端受到竖直向上的拉力为F₁，若匀速略微向上提起金属杆的过程中，滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，滑轮组的机械效率保持不变为η₁．；当把该滑轮组的绳子系在金属杆的C点，AC=3m，仍以A端为支点，匀速略微竖直向上拉起B端，人对地面的压力为F_№时，C点受到竖直向上的拉力为F₂，B端恰好离开地面，这时滑轮组的机械效率为η₂．若人的体重为G_人=700N且保持不变，F_Nl：F_N2=12：7，η₁：η₂=63：64．求：
（1）F₁与F₂的比值；
（2）动滑轮重G_动；
（3）金属杆的重心0距A端的距离．

Answer

（1）设金属杆重心0距A端的距离为L2，知道B端受到竖直向上的拉力F1和C点受到竖直向上的拉力为F2，又知道AB和AC的长度，再根据杠杆的平衡条件可以列出两个等式，即F1AB=G杆L2，F2AC=G杆L2，便可以计算出F1与F2的比值①．
（2）滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，知道B端受到竖直向上的拉力F1和C点受到竖直向上的拉力为F2，滑轮组在此图情形的机械效率的计算如下：η====，再借助η1：η2=63：64，从而可以列出一个机械效率比值的等式②．
（3）从图可知，有四段绳子吊着物体，则绳子末端的拉力就等于竖直向上的拉力和动滑轮重力的，人未离开地面，处于平衡状态，人受到竖直向下的重力、竖直向上的支持力和拉力，人对地面的压力的大小也就是支持力的大小，则人对地面的压力就等于人的重力减去绳子末端的拉力，再借助FNl：FN2=12：7，从而可以列出一个人对地面的压力比值的等式③．
①②③组成方程组便可以计算出出F1、F2和动滑轮重G动．再把F1代入F1AB=G杆L2便可以计算出金属杆的重心0距A端的距离．
【解析】
（1）设金属杆重心0距A端的距离为L2，B端受到竖直向上的拉力F1，C点受到竖直向上的拉力为F2，
根据杠杆的平衡条件可知：F1AB=G杆L2，F2AC=G杆L2，
则F1AB=F2AC，
∴===①．
（2）∵滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，
∴η====，
即==×=，
化简得：64F1（F2+G动）=63F2（F1+G动），
即：F1F2+64F1G动=63F2G动②．
（3）从图可知，有四段绳子吊着物体，则绳子末端的拉力就等于竖直向上的拉力和动滑轮重力的，
从图可知，人对地面的压力就等于人的重力减去绳子末端的拉力，
∴===，
化简得：12F2-7F1+5G动=14000N③，
则===①，F1F2+64F1G动=63F2G动②，12F2-7F1+5G动=14000N③，组成方程组，
解得：F1=1500N；F2=2000N；G动=100N．
把F1=1500N代入F1AB=G杆L2可得：1500N×4m=4000N×L2，
∴L2=1.5m．
答：（1）F1与F2的比值为3：4．
（2）动滑轮重G动为100N．
（3）金属杆的重心0距A端的距离为1.5m．