Question

如图，在中，，是的中点。在射线上任意取一点，连接,将线段绕点逆时针方向旋转80°，点的对应点是点，连接.

（1）如图1，当点落在射线上时，

①_________________°；

②直线与直线的位置关系是______________________。

（2）如图2，当点落在射线的左侧时，试判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论。

Answer

（1）①；②平行；（2）直线与直线的位置关系是平行，证明见解析.

【解析】

（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题；

②证明∠ABC=40°，∠ECB=40°，推出∠ABC=∠ECB即可；

（2）利用等腰三角形的性质求出∠ABC、∠PBE、∠PEB的度数，再利用外角定理求出∠PBC+∠PEC的度数，从而求得∠ABE+∠BEC=180°即可证明结论.

【解析】
（1）①∵∠BPE=80°，PB=PE，

∴∠PEB=∠PBE=×(180°－80°)=50°；

②结论：AB∥EC，理由如下：

∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC，

∴∠BDE=90°，

∴∠EBD=90°－50°=40°，

∵AE垂直平分线段BC，

∴EB=EC，

∴∠ECB=∠EBC=40°，

∵AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠ABC=∠ACB=40°，

∴∠ABC=∠ECB，

∴AB∥EC，

故答案为50，AB∥EC；

（2）直线与直线的位置关系是平行，证明如下：

如图，连接CP并延长到F，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，是的中点，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴CE∥AB.