Question

平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为(0，0)、A(a，0)、C(0，b)，且a、b满足.

(1)矩形的顶点B的坐标是______.

(2)若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；

(3)将(2)中直线CE向左平移个单位交y轴于M，N为第二象限内的一个动点，且∠ONM＝135°，求FN的最大值.

Answer

（1）B（6，8）；（2）；（3）.

【解析】

（1）变形为，则b-8=0，a-b+2=0，即可求解；

（2）过点E作x轴的平行线交y轴于点G、交AB于点H，设GD=m，GE=n，证明Rt△DGE∽Rt△EHA，得 ,即，即可求解；

（3）过点N、O、M作圆R（R为圆心），连接RM、RO，当F、R、N三点共线时，FN最大，即可求解．

【解析】
（1）.

∴，

∴b-8=0，a-b+2=0，
解得：a=6，b=8，
∴点B的坐标为（6，8）；

（2）过点E作x轴的平行线交y轴于点G、交AB于点H，设GD=m，GE=n，
∵∠GED+∠HEA=90°，∠GED+∠GDE=90°，
∴∠GDE=∠HEA，
∴Rt△DGE∽Rt△EHA，

∴

∴

解得：，

∴OG=,

∴.

设直线CE的解析式为y=kx+b,则

，

解得，

∴直线CE的解析式为：.

（3）在中当x=6时，y=4，

∴点F的坐标为，

直线CE向左平移一个单位后的表达式为：，

∴点M的坐标为，

过点N、O、M作圆R（R为圆心），连接RM、RO，

当F、R、N三点共线时，FN最大，
∵∠ONM=135°，

∴∠MRO=90°，

∴△RMO为等腰直角三角形，
∴点R的坐标为，

∴，

∴，

∵，

∴=，

∴FN的最大值=PR+RN==.

故答案是：.