Question

如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。连接 EC，过点 E 作 EF⊥EC 交射线 BA 于点 F，EF、AC 交于点 G。若 DE=3，△EGC 与△AFG 面积的差是 2，则 BD=_____.

Answer

5

【解析】

在DC上取点M，使DM=DE，连接EM，通过证明∆FAE≅∆EMC，根据△EGC 与△AFG 面积的差是 2，推出△EAC 与△EMC 面积的差是 2，然后设MC=x,则AE=x，AD=x+3，利用面积差即可求出x，即可求出BD.

【解析】
在DC上取点M，使DM=DE，连接EM

∵Rt△ABC，AB=AC，AD ⊥ BC

∴BD=CD=AD，∠EAF=135°

同理∠EMC=135°

∴AE=CM

∠AEF+∠CED=∠ECM+∠CED=90°

∴∠AEF=∠ECM

∴∆FAE≅∆EMC

∵S△EGC -S△AFG=2

∴S△EAC -S△FAE=2

∴S△EAC -S△EMC=2

设MC=x,则AE=x，AD=x+3

∵S△EAC= ，S△MEC=

∴-=2

解得x=2（x>0，负值舍去），

∴AD=2+3=5

∴BD=AD=5

故答案为：5.