Question

（1）感知：如图（1），在△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外部作等边三角形△ABD、△ACE，连接CD、BE．求证：BE＝DC；

（2）应用：如图（2），在△ABC中，AB＞AC，分别以AB、AC为边在△ABC内部作等腰三角形△ABD、△ACE，点E恰好在BC边上，使AB＝AD，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE，连接CD，CE＝3cm，CD＝2cm，△ABC的面积为25cm²，求△ABE的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ABE的面积是10cm2．

【解析】

探究：证明△ADC≌△ABE（SAS），可得BE＝DC；

应用：过A点作△ABC的高线，垂足为F．先证明△ADC≌△ABE，可得BE＝DC＝2，利用面积求得AF＝10，则△ABE的面积可求出．

感知：证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴∠EAC＝∠DAB＝60°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠CAB，

∴∠DAC＝∠EAB，

∵AD＝AB，AC＝AE，

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴BE＝DC；

应用：【解析】
过A点作△ABC的高线，垂足为F．

∵∠BAD＝∠EAC，

∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAC﹣∠EAD，

∴∠BAE＝∠DAC，

∵AB＝AD，AE＝AC

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴DC＝BE＝2，

∵EC＝3，

∴BC＝5，

∵△ABC的面积是25cm2，

∴，

∴AF＝10，

∴△ABE的面积是＝10cm2

∴△ABE的面积是10cm2．